Ley del coseno

 

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Objetivos

 

Terminada la lección:

 

• Definirás las funciones trigonométricas a partir de la geometría del triángulo rectángulo.
• Utilizarás las funciones trigonométricas para hallar las medidas desconocidas de un triángulo.
• Seleccionarás correctamente la función trigonométrica apropiada para resolver los problemas.

 

Uso de la ley de coseno

 

En ocasiones necesitamos resolver ejercicios o situaciones en los que los triángulos no son rectángulos. La ley del seno y la del coseno se aplica para todos los triángulos aunque no sean rectángulos. Estas leyes proveen una alternativa para convertir cualquier triángulo en uno rectángulo utilizando técnicas de geometría básica.  Veamos el siguiente triángulo:

 

 

Dado un Δ supongamos que conocemos el tamaño de los lados a y b, así como la medida de c.  Podemos realizar el siguiente procedimiento para construir la ecuación:

 

Procedimiento	Resultado
El triángulo αMß tiene lados: y, c , b-x
Usa el teorema de Pitágoras:	c2   = y2 + (b – x)2
Expande y multiplica	c2= y2 + b2 – 2bx + x2
Agrupa y simplifica	c2= (x2 +y2) + b2– 2bx
El triángulo γMß tiene lados:  x, y, a por lo tanto:
Aplica el teorema de Pitágoras nuevamente:	a2 = x2 +y2
Ahora podemos sustituir en la ecuación anterior:	ecuación anterior → c2= (x2 +y2) + b2– 2bx c2= (a2 ) + b2– 2bx
Del triángulo γMß también podemos obtener que:	cos γ = x/a x= a cos γ
Al sustituir ese resultado en la desconocida x de la ecuación anterior resulta en:	c2= (a2 ) + b2– 2bx  c2= a2 +b2 – 2ba cos γ c2= a2 +b2 – 2ab cos γ

                                

La ecuación obtenida es la siguiente:

 

 

En resumen, si hicieramos el mismo procedimiento para cada una de las variables a y b obtendríamos las siguientes ecuaciones:

 

 

 

 

Ejemplo 1: Ley de coseno

 

En el triángulo tenemos marcadas las siguientes cantidades: α = 60°, b= 3.0 m y c= 4.0 m. 

¿Cuánto es el valor del lado a?  

 

Los datos son:

• ángulo, α = 60° 
• lado, b= 3.0 m
  
• lado, c = 4.0 m
• lado desconocido, a=?
  

 

La ecuación a utilizar es:

 

 

 Reemplaza los valores en la ecuación. Resuelve y demuestra el procedimiento como a continuación:

 

a²= b² +c² – 2bc cos α

a²= (3m)²  + (4m)²– (2) (3m) (4m) cos 60°

a²= 9m²  + 16m² – (24m²) (0.8660) 

a²= 25m² – (24m²) (0.5)  =

a²= 25m² – 12m²

a²= 13m²

Ahora hay que buscar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación. Es más fácil al usar la calculadora:

 

 

 

La respuesta es: La medida del lado a es 3.6m

 

 

 

Problemas de práctica adicional: 

 

Utiliza la figura del ejemplo. Calcula la medida de los ángulos que faltan usando la ley del coseno y trigonometría básica.

 

  

Respuesta a problemas de práctica

 

 

 

 

Para citar esta página:

Sepúlveda, E. (2016, mayo). Ley de coseno. Recuperado de Física en Línea: http://www.fisicaenlinea.com/05trigonometria/trigonometria03-leycoseno.html

 

9 July, 2016

elba@fisicaenlinea.com