Gráficas de posición vs tiempo

Objetivo de esta lección:

 Luego de que termines esta lección:

• Explicarás el comportamiento de diversos objetos utilizando gráficas de posición versus tiempo.
• Explicarás la relación entre las variables de una gráfica.
• Calcularás la pendiente de una gráfica lineal.
• Resolverás problemas utilizando los conceptos básicos de vectores y análisis gráfico del movimiento.

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Análisis de gráficas de posición vs tiempo

Un auto se mueve con una velocidad constante. Se registran los datos en la tabla que está a la derecha. La tabla muestra el tiempo en segundos y la distancia recorrida en metros. Esa distancia según registrada nos provee la posición a la que se encuentra el auto a medida que el tiempo transcurre. Luego esos datos se grafican según lo muestra la siguiente ilustración.

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Ejercicio de práctica 1

La siguiente imagen muestra la gráfica de posición versus tiempo del movimiento del auto que explicamos en el ejemplo de la introducción al tema de gráficas.

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¿Qué podemos decir sobre la forma en que se mueve el objeto?

Veamos, por ejemplo, lo que sucede entre los puntos B y C de la gráfica. El Punto C representa la posición del objeto cuando han transcurrido 20 segundos. El punto B representa la posición del objeto cuando han transcurrido solo 10 segundos. Así que, el tiempo que le tomó al objeto desplazarse desde el punto B al C fue de 20s – 10s = 10s. Por otro lado, en el Punto C el objeto se encontraba a 100 m del origen de coordenadas y en el Punto B se encontraba a 50 m. Por lo tanto, la distancia entre los puntos B y C es de 100 m – 50 m = 50 m. Así que, podemos concluir que al objeto le tomó un tiempo de 10 s desplazarse del Punto B al C y que la distancia que recorrió al hacer esto fue de 50 m.

Análisis del movimiento

Si haces el mismo análisis que el descrito arriba notarás que al moverse del punto C al D, el objeto recorrerá la misma distancia, 50 m, en el mismo tiempo, 10 s. Lo mismo ocurre al desplazarse del Punto D al E y del Punto E al F y del F al G. Como la distancia y el tiempo son los mismos en todos estos casos, decimos que el objeto se mueve con una rapidez constante o uniforme. La tabla de datos muestra las cantidades consideradas en cada punto.

Cálculo de la pendiente

Si divides la distancia que le toma al objeto entre el tiempo que le toma desplazarse en esa distancia verás algo interesante. Estarás calculando la pendiente. Por ejemplo, cuando el objeto se desplaza del punto B al C, tenemos:

distancia/tiempo = 50 m/10 s = 5 m/s

Se repite esto con las distancias y el tiempo que calculamos antes. Observa los resultados en la tabla de la derecha.

El mismo resultado en los puntos sucesivos

Esto que encontraste era de esperarse ya que en todos los casos que examinamos tanto la distancia recorrida como el tiempo eran iguales. Pero, ¿qué sucede si consideramos dos puntos que no son sucesivos, como por ejemplo los puntos B y F? Nota que entre al desplazarse de B a F, el objeto recorre una distancia de 250 m – 50 m = 200 m y le toma un tiempo igual a 50 s – 10 s = 40 s. Si divides la distancia recorrida entre el tiempo tendrás: 200 m/40 s = 5 m/s, ¡el mismo que cuando consideraste dos puntos sucesivos! Considera cualesquiera dos puntos y verás que el resultado sigue siendo el mismo. Hemos descubierto una propiedad invariante de este objeto: su rapidez. Es decir, este objeto se mueve siempre con la misma rapidez de 5 m/s. Cada segundo que transcurre, el objeto recorre una distancia de 5 m.

La ecuación de la pendiente

Hagamos nuestro análisis con un poco más de detalle. Si te fijas en la gráfica, todos los puntos, A hasta G, se encuentran en una línea recta. Las líneas rectas se caracterizan por que tienen una cantidad que es constante: su pendiente. Para aplicar la ecuación para calcular la pendiente se requiere analizar la gráfica. Calculemos la pendiente de nuestra gráfica según lo muestra la figura de la derecha, que contiene la ecuación matemática correspondiente. Para calcular la pendiente de la línea recta, tenemos que escoger dos puntos en la gráfica, digamos los puntos: A y C.

Estos puntos tienen coordenadas:

(x₁,y₁) = (0s,0m) y (x₂, y₂) = (20s, 100m)

Usemos la ecuación para el cálculo de la pendiente. Nota que el resultado es 5 m/s. Es decir, ¡la pendiente de la recta es la rapidez con que se mueve el objeto!

Consideraciones del resultado

Podemos considerar que el eje de y representa la posición del objeto al norte.  La pendiente de una gráfica de posición vs tiempo es la velocidad del objeto.  Su velocidad es… 5m/s, al Norte. Como la pendiente es constante su velocidad es uniforme. Esto significa que posee la misma velocidad a través de todo el recorrido.

Tabla de datos

La siguiente tabla de datos resume los resultados. En esta tabla se expone el resultado cuando se calcula la pendiente para los tramos presentados en la gráfica. También incluye la forma de la gráfica que es lineal ascendente, la posición y el tiempo para los distintos tramos de la gráfica.

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Ejercicio de práctica 2

Expliquemos el movimiento de un tren, según representado en la próxima gráfica:

Puedes observar que la gráfica tiene una forma lineal horizontal. Podemos describir lo que ocurre en el tramo AB. Esto es así porque la posición del objeto no cambia. A medida que el tiempo aumenta de 20 a 40 segundos el tren se mantiene en una posición de 150 m. Esto quiere decir que no se mueve a través del tiempo o simplemente no hay movimiento. Otra alternativa para analizar la gráfica es que tenemos es buscar la pendiente y verás que te dará cero.

Para calcular la pendiente solo tienes que realizar el procedimiento presentado en la figura siguiente.

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Continuación: Ejercicio de práctica 3

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