Ley de seno

Objetivos

Al terminar la lección:

• Definirás las funciones trigonométricas a partir de la geometría del triángulo rectángulo.
• Explicarás como medir los ángulos de un triángulo.
• Utilizarás las funciones trigonométricas para hallar las medidas desconocidas de un triángulo.
• Seleccionarás correctamente la función trigonométrica apropiada para resolver los problemas.

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Relación de tres igualdades

La ley de seno es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera.  En ocasiones necesitarás resolver ejercicios que envuelven triángulos que no son rectángulos.  La ley del seno y la del coseno son muy convenientes para resolver problemas de triángulos en los que no hay ningún ángulo recto, es decir es para triángulo que no son rectágulos como los discutidos en la sección de trigonometría básica. 

 

Prueba de la ley de seno

Veamos el triángulo de la derecha. Para obtener la ley de seno podemos realizar el siguiente procedimiento:

Procedimiento	Resultado
En el triángulo ΔAMC  aplicamos el seno del ángulo A y utilizamos la propiedad de la igualdad para obtener:	sen A = y/by/b = sen A
Ahora despejamos para y, obtenemos	y= b sen A
En el triángulo ΔBMC  aplicamos el seno del ángulo B, utilizamos la propiedad de la igualdad y obtenemos	sen B = y/ay/a = sen B
De igual modo espejamos para y, obtenemos	y= a sen B
Igualamos ambas expresiones y = y de forma que:	b sen A = a sen B

Entonces:

La ley del seno nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante.

La ley del seno se escribirá como sigue:

Ejemplo 1: Medida del triángulo

Encuentra la medida del lado b para el triángulo ABC según demostrado en la siguiente figura:

Estrategias para resolver el ejercicio:

Primero determina los datos:

• lado, a=10m
• ángulo, A=30°
• ángulo, B =40°
• lado desconocido, b = ?

Luego utiliza o aplica la siguiente ecuación:

Despeja para la desconocida b:

Ahora se sustituyen los valores así:

La respuesta es que la medida del lado b es de aproximadamente 13m.

Algunas ideas importantes al resolver ejercicios de trigonometría

1. Reemplaza los valores conocidos en la ley del seno.
2. Usa una calculadora o una tabla trigonométrica para ir desde el seno de A hasta obtener la medida del ángulo A según demostrado.
3. Ofrece el resultado en oración completa.

Práctica adicional

Encuentra la medida del ángulo C y del lado c para el triángulo ABC según demostrado en la figura:

Respuesta a problema adicional