A student reading a book over a background of equations

Ley de Seno y un Ejemplo

aplicaciones trigonométicas
aplicaciones trigonométicas

Objetivos

Al terminar la lección:

  • Definirás las funciones trigonométricas a partir de la geometría del triángulo rectángulo.
  • Explicarás como medir los ángulos de un triángulo.
  • Utilizarás las funciones trigonométricas para hallar las medidas desconocidas de un triángulo.
  • Seleccionarás correctamente la función trigonométrica apropiada para resolver los problemas.

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Relación de tres igualdades

Triángulo mostrando los lados con las letras respectivas de las ecuaciones
Triángulo mostrando los lados con las letras respectivas de las ecuaciones

La ley de seno es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera.  En ocasiones necesitarás resolver ejercicios que envuelven triángulos que no son rectángulos.  La ley del seno y la del coseno son muy convenientes para resolver problemas de triángulos en los que no hay ningún ángulo recto, es decir es para triángulo que no son rectágulos como los discutidos en la sección de trigonometría básica. 

Prueba de la ley de seno

Veamos el triángulo de la derecha. Para obtener la ley de seno podemos realizar el siguiente procedimiento:

ProcedimientoResultado
En el triángulo ΔAMC  aplicamos el seno del ángulo A y utilizamos la propiedad de la igualdad para obtener:   sen A = y/by/b = sen A 
Ahora despejamos para y, obtenemosy= b sen A
En el triángulo ΔBMC  aplicamos el seno del ángulo B, utilizamos la propiedad de la igualdad y obtenemos sen B = y/ay/a = sen B
De igual modo espejamos para y, obtenemosy= a sen B
Igualamos ambas expresiones y = y de forma que: b sen A = a sen B

Entonces:

Ecuación que muestra b dividido entre el seno de B es igual a a dividido entre el seno de A
Ecuación que muestra b dividido entre el seno de B es igual a a dividido entre el seno de A

La ley del seno nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante.

La ley del seno se escribirá como sigue:

Ecuación que muestra la ley de seno como a dividido entre el seno de A iual a b dividido entre el seno de B es igual a c dividido entre el seno de C
Ecuación que muestra la ley de seno como a dividido entre el seno de A iual a b dividido entre el seno de B es igual a c dividido entre el seno de C

Ejemplo 1: Medida del triángulo

Encuentra la medida del lado b para el triángulo ABC según demostrado en la siguiente figura:

Triángulo que muestra los datos del ejemplo. a igual a 10 metros, el ángulo A es igual a 30 grados y el ángulo B es 40 grados. las desconocidas son el ángulo C, el labo b y el lado c.
Triángulo que muestra los datos del ejemplo. a igual a 10 metros, el ángulo A es igual a 30 grados y el ángulo B es 40 grados. las desconocidas son el ángulo C, el labo b y el lado c.

Estrategias para resolver el ejercicio:

Primero determina los datos:

  • lado, a=10m
  • ángulo, A=30°
  • ángulo, B =40°
  • lado desconocido, b = ?

Luego utiliza o aplica la siguiente ecuación:

Ecuación que muestra la ley de seno como a dividido entre el seno de A iual a b dividido entre el seno de B es igual a c dividido entre el seno de C
Ecuación que muestra la ley de seno como a dividido entre el seno de A iual a b dividido entre el seno de B es igual a c dividido entre el seno de C
Ecuación que muestra b dividido entre el seno de B es igual a a dividido entre el seno de A
Ecuación que muestra b dividido entre el seno de B es igual a a dividido entre el seno de A

Despeja para la desconocida b y se sustituyen los valores:

Ecuación que muestra a dividido entre el seno de A es igual a b dividido entre el seno de B; se multiplica por el sen B de forma que se despeja para b usando la propiedad de la igualdad entonces b es igual a a sen de B dividido por el sen de A
Ecuación que muestra a dividido entre el seno de A es igual a b dividido entre el seno de B; se multiplica por el sen B de forma que se despeja para b usando la propiedad de la igualdad entonces b es igual a a sen de B dividido por el sen de A
Entonces b es igual a a sen de B dividido por el sen de A y se sustituyen las cantidades de 10 metros multiplicado por el sen de 40 grados que es 0.6428 y divido entre el seno de 30 grados que es 0.5 para obtener b igual a 12.8 metros
Entonces b es igual a a sen de B dividido por el sen de A y se sustituyen las cantidades de 10 metros multiplicado por el sen de 40 grados que es 0.6428 y divido entre el seno de 30 grados que es 0.5 para obtener b igual a 12.8 metros

Una vez realizados los cáculos mátemáticos podemos decir qe la respuesta es que la medida del lado b es de aproximadamente 13m. Usamos el redondeo a dos cifras significativas.

Algunas ideas importantes al resolver ejercicios de trigonometría

  1. Reemplaza los valores conocidos en la ley del seno.
  2. Usa una calculadora o una tabla trigonométrica para ir desde el seno de A hasta obtener la medida del ángulo A según demostrado.
  3. Ofrece el resultado en oración completa.

Práctica adicional

Encuentra la medida del ángulo C y del lado c para el triángulo ABC según demostrado en la figura:

Triángulo que muestra los datos del ejemplo. a igual a 10 metros, el ángulo A es igual a 30 grados y el ángulo B es 40 grados. las desconocidas son el ángulo C, el labo b y el lado c.
Triángulo que muestra los datos del ejemplo. a igual a 10 metros, el ángulo A es igual a 30 grados y el ángulo B es 40 grados. las desconocidas son el ángulo C, el labo b y el lado c.

Enlaces externos para explorar


Presentación


Vídeo

Ley del seno


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